材料力学Ⅰ备考手册

一、作内力图 (先做受力分析图)

★轴力Fn图

★扭矩T图

★剪力Fs图

★弯矩M图(纵坐标向下为正)


二、轴向拉压超静定计算

★斜截面应力公式

σα = σ0 * cosα * cosα

τα = σ0 * cosα * sinα

(α为斜截面与竖直方向的夹角)

★求某点的位移

几何法:

1.求各个杆件的轴力

2.求各个杆件的位移:Δl = (Fn*l)/(E*A)

3.根据几何关系求该点位移

能量法:

1.求各个杆件的轴力

2.计算结构的应变能:Vε=∑(Fn²*l)/(2E*A)

3.单一方向的位移:(F*x)/2=Vε

★求材料允许的最小直径d

1.强度条件:σ=Fn/A≤[σ]

2.刚度条件:Δl=(Fn*l)/(E*A)≤[Δl]

3.得最小截面积A,根据A和d的关系求d

★拉压杆件强度校核[σ]

1.列静力平衡方程

2.变形协调条件,联合求轴力

3.σ=Fn/A,比较σ与[σ]


三、扭转变形的强度,刚度校核

★强度校核[τ]

1.求最大外力偶矩:T = 9549*P/n

(单位依次为:N*m,kW,r/min)

2.求最大切应力:τ = T/Wt

3.比较τ与[τ]

★刚度校核[Φ]

1.求最大外力偶矩:T (同上)

2.求最大扭转角:Φ = (T*l)/(G*Ip)

3.比较Φ与[Φ]

△Ip与扭转截面系数Wt的公式

实心圆:Ip=πd^4/32

Wt=Ip/(d/2)=πd³/16

空心圆:Ip=π(D^4-d^4)/32

Wt=Ip/(D/2)=π(D^4-d^4)/16D=[πD³(1-α^4)]/16

矩形:Ip=bh³/12

薄壁筒:Wt=2πR²t(t为厚度)

★距轴心ρ处的切应力

τρ=T*ρ/Ip

从轴心处切应力为0,到边缘线性增大


四、弯曲变形的强度,刚度校核

★强度校核[σ]和[τ]

1.画弯矩图,求最大弯矩M
2.求最大正应力σ:σ=M/W
3.求最大切应力τ:τ=(Fs*Sz)/(Iz*b),具体求法在下面
4.比较σ与[σ],τ与[τ]

△抗弯矩系数W的公式 (不要和Wt搞混了)

实心圆:W=πd³/32

空心圆:W=π(D^4-d^4)/32D=πD³(1-α^4)/32

矩形:W=bh²/6

工字钢:需要查表

△最大切应力

矩形截面梁:τ=3/2*(Fs/A)

工字形截面梁:τ=Fs/[(Iz/Sz)*d)]

(Iz/Sz和d需要查表)

圆截面梁:τ=4/3*(Fs/πR²)

★距中心轴y处的应力

σ=My/Iz=Ey/ρ

(ρ为中性层的曲率半径)

★刚度校核[ω]和[θ]

1.求挠度ω:EIω'' = -M(x)

2.求转角θ:EIθ' = -M(x) 或 θ=ω'

(求ω和θ需边界条件)

3.比较ω与[ω],θ与[θ]

△边界条件

固定端处: θ = 0,ω = 0

固定或滑动铰链处:ω = 0

表达式分段处:θ左 = θ右,ω左 = ω右


五、应力应变分析+强度理论

★应力状态

σ1=(σx+σy)/2+{[(σx-σy)/2]²+τxy²}^1/2

σ3=(σx+σy)/2-{[(σx-σy)/2]²+τxy²}^1/2

(τ)max=(σ1-σ3)/2

~~~~~ 我是分割线 ~~~~~

二向应力时:

tan(2α0)=-2τxy/(σx-σy)

★斜截面上的应力

①解析法:

1.列出σx,σy,τxy和α

(α为斜截面顺时针旋转到竖直方向的劣角)

2.套用公式:

σα=(σx+σy)/2+(σx-σy)/2*cos2α-τxy*sin2α

τα=(σx-σy)/2*sin2α+τxy*cos2α

~~~~~ 我是分割线 ~~~~~

②图解法:

1.建立Oστ坐标系

2.根据坐标Dx(σx,τxy)和Dy(σy,τyx)确定两点

连接Dx,Dy两点,与σ轴的交点为C

3.以C为为圆心,DxDy为直径画圆

4.由CDx开始,逆时针旋转2α角度得Dα

5.点Dα的坐标(σα,τα)即为所求

★平面应变状态

(ε)max=(εx+εy)/2+{[(εx-εy)/2]²+(γxy/2)²}^1/2

(ε)max=(εx+εy)/2-{[(εx-εy)/2]²+(γxy/2)²}^1/2

tan(2α0)=-γxy/(εx-εy)

★广义胡克定律

εx=1/E*[σx-μ(σy+σz)]

εy=1/E*[σy-μ(σx+σz)]

εz=1/E*[σz-μ(σx+σy)]

σx=[E/(1-μ²)]*[εx+μ(εy+εz)]

σy=[E/(1-μ²)]*[εy+μ(εx+εz)]

σz=[E/(1-μ²)]*[εz+μ(εx+εy)]

γxy=τxy/G

★强度理论计算

最大拉应力理论:σ1≤[σ]

最大伸长线应变理论:σ1-μ(σ2+σ3)≤[σ]

最大切应力理论:σ1-σ3≤[σ]

畸变能密度理论:{1/2*[(σ1-σ2)²+(σ2-σ3)²+(σ3-σ1)²]}^1/2≤[σ]


六、组合变形

★拉伸+压缩组合

求最大正应力:σ = Fn/A+M/W

★偏心拉压

应力:σ = -(F/A)*(1+yF*y/i²z+zF*z/i²y

★扭转+弯曲组合

应力计算:

1.求最大正应力:σ=M/W

2.求最大切应力:τ=T/Wt

强度条件:

σr3 = (σ²+4τ²)^1/2 = [(M²+T²)^1/2]/W

σr4 = (σ²+3τ²)^1/2 = [(M²+0.75T²)^1/2]/W


七、压杆稳定计算

★稳定性校核

1.计算杆件的柔度λ和极限柔度λ1

λ = μl/i【其中回转半径i=(I/A)^(1/2)】

λ1 = (π²E/σp)^(1/2)

2.若λ > λ1,则为大柔度杆,欧拉公式适用

3.套用欧拉公式:Fcr=π²EI/(μl)²

4.计算n=Fcr/F,n≥nst则安全

△中柔度杆和小柔度杆

λ2 = (a-σs)/b (经验公式)

若λ2 < λ < λ1,则为中柔度杆

Fcr = (a-bλ2)*A

若λ < λ2,则为小柔度杆

Fcr = σs*A

△回转半径i

实心圆:i = d/4

空心圆:i = (D²+d²)^(1/2)/4

△杆端约束长度因数μ

两端铰支:μ=1

一端固定,一端自由:μ=2

一端铰支,一端固定:μ=0.7

两端固定:μ=0.5


其他技巧

★均布荷载作用下的简支梁

最大弯矩产生在梁的跨度中点处截面上:(M)max=ql²/8

最大正应力发生在梁跨度中点处截面的上下边缘

★均布荷载作用下的悬臂梁

最大弯矩产生在梁的边缘:(M)max=ql²/2

$$c=\sqrt{a^{2}+b_{0}^{2}+e^{x}}$$

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